Programma Statistica matematica, Corsi di Laurea
Magistrali in Matematica A.A. 2026/27.
- Elementi di teoria ergodica.
Processi stazionari ed ergodici. Sistemi dinamici. Teorema
ergodico di Birkhoff. Esempio di catene di Markov.
Convergenza della misura empirica. Decomposizione ergodica.
- Entropia relativa. Entropia relativa tra
probabilità. Formula variazionale, convessità e
semicontinuità rispetto alla convergenza debole. "Basic
entropy inequality". Relazione con la distanza in variazione
totale: diseguaglianza di Csiszár.
- Entropia di Shannon. Lemma di
subadditività. Entropia di processi. Affinità
dell'entropia di Shannon. Esempi di variabili
i.i.d. e catene di Markov.
- Teorema di Shannon-Breiman-MacMillan.
- Elementi di teoria dell'informazione.
Sorgenti. Codici. Diseguaglianza di Kraft. Codici ottimali.
Teorema di codifica di Shannon. Algoritmo di Lempel-Ziv.
[Questo è il primo obiettivo principale del corso]
- Teoria di grandi deviazioni. Assiomatica. Principio delle
contrazioni. Teorema di Laplace-Varadhan. Teorema di Sanov per la
misura empirica. Teorema di Cramer come corollario del teorema di Sanov.
- Test di ipotesi per la misura empirica. Errori di tipo 1
e 2. Utilizzo del teorema di Sanov per la stima della
probabilità di errori di tipo 2.
[Questo è il secondo obiettivo principale del corso]